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思维 进制转换 数位DP 无前导0 T3Problem - 1811E - Codeforces

题目大意

从一个不含有数字4的递增序列中找第k个数并输出。如 \(1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12\), \(k = 4\) 时输出 \(5\)。

思路1

有一个巧妙的解法：考虑这个问题, 从一个没有限制的从1开始的递增序列找出第k个数, 显然就是十进制的k。而这里则可以定义新的进制为 "012356789" 9进制, 那么k对应的就是这个特殊的九进制数, 我们只需要把它转换为十进制就行。

二转十：

while(k)ans += k % 2, k /= 2;

九转十：

while(k)ans += k % 9, k /= 9;

代码1

#include #include #include using namespace std;using LL = long long;int a[20];int cnt = 0;int main(){    cin.tie(0);    cout.tie(0);    ios::sync_with_stdio(0);    string s = "012356789";    int T;    cin >> T;    while (T--)    {        LL k;        cin >> k;        cnt = 0;        while (k)            a[cnt++] = s[k % 9] - "0", k /= 9;        for (int i = cnt - 1; i >= 0; i--)            cout << a[i];        cout << endl;    }}

思路2

也可以考虑数位DP, 定义 \(f(i,j)\) 为长度为i, 且最高位为j的数, 可以写出这样的初始化函数来得到 \([1,i]\) 的满足条件的数的个数：

void init(){    for (int i = 0; i <= 9; i++)        if (i != 4)            f[1][i] = 1;    for (int i = 2; i <= N - 1; i++)    {        for (int j = 0; j <= 9; j++)        {            if (j == 4)                continue;            for (int k = 0; k <= 9; k++)                f[i][j] += f[i - 1][k];        }    }}

然后再实现查找前缀和 \([1,num]\) 的满足条件的数的个数, 题目中的 \(k\) 最大为 1e12, 直接二分结果, 找最左边且 \(dp(mid) = k\) 的值就是最终结果。

记得要处理前导0, 方法是在首尾不加上0开头的部分, 最后再加一遍所有长度小于 num.size() 的部分。

代码2

#include #include #include #include #include #include using namespace std;const int N = 17;typedef long long ll;const ll INF = 1e17;ll f[N][10];void init(){    for (int i = 0; i <= 9; i++)        if (i != 4)            f[1][i] = 1;    for (int i = 2; i <= N - 1; i++)    {        for (int j = 0; j <= 9; j++)        {            if (j == 4)                continue;            for (int k = 0; k <= 9; k++)                f[i][j] += f[i - 1][k];        }    }}ll dp(ll x){    if (!x)        return 0;    vector nums;    while (x)        nums.push_back(x % 10), x /= 10;    ll res = 0;    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--)    {        int x = nums[i];        for (int j = (i == nums.size() - 1); j < x; j++)            res += f[i + 1][j];        if (x == 4)            break;        if (!i)            res++;    }    for (int i = 1; i <= nums.size() - 1; i++)        for (int j = 1; j <= 9; j++)            res += f[i][j];    return res;}int main(){    init();    int T;    cin >> T;    while (T--)    {        ll k;        cin >> k;        ll l = -1, r = 1e13;        while (l != r - 1)        {            ll mid = l + r >> 1;            if (dp(mid) < k)                l = mid;            else                r = mid;        }        cout << r << endl;    }    return 0;}